Limite réelle d'une fonction réelle

Unicité de la limite

Il existe au plus un b ∈ ℝ vérifiant les conditions de la limite

Définition équivalente

Condition de Cauchy

Exemple 1

f=Piecewise[{{x+1,x<1},{x+1,x>1}}];
Graphef[f,x]

f(x) = (((x^2)-1)/(x-1))
(lim_(x->1))f(x)=2
(1) 1∈adh(ℝ\{1})=ℝ
(2) (∀ϵ>0) (∃δ>0) (∀x∈ℝ\{1}: |x-1| ≤δ): |(((x^2)-1)/(x-1))-2| ≤ϵ
(∀ϵ>0) (∃δ>0) (∀x∈ℝ\{1}: |x-1| ≤δ): |x+1-2| ≤ϵ
(∀ϵ>0) (∃δ>0) (∀x∈ℝ\{1}: |x-1| ≤δ): |x-1| ≤ϵ
il suffit de prendre δ=ϵ et la condition (2) est vérifiée.

Exemple 2

f=Piecewise[{{x+1,x<1},{4,x==1},{x+1,x>1}}];
Graphef[f,x]

f(x) = (Piecewise[{{x+1, x<1}, {4, x==1}, {x+1, x>1}}])
dom f = ℝ
(lim_(x->1))f(x) n'existe pas
pour le monter, utilisons la contraposée de la condition de Cauchy
Il suffit donc de trouver x et x' arbitrairement proches de 1 tels que |f(x)-f(x')|reste supérieur à un nombre positif fixe
En prenant x = 1 et x = 1+min{1,δ}, on a
|f(x)-f(x')|=|2-min{1,δ}|≥ 1=ϵ
Il suffit donc de prendre ϵ=1

Limite sur dom f\{a}

La limite ayant peu d'intérêt lorsque a est un point isolé du domaine, elle est parfois définie comme suit: