3. Croissance d'une fonction

Définition : Soit f, une fonction définie sur un intervalle I

La fonction réelle f est strictement croissante sur un intervalle  I
			⟺
	∀ (Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]) ∈ I : (Subscript[x, 1])< (Subscript[x, 2]) ⟹  f((Subscript[x, 1])) <  f((Subscript[x, 2]))

Définition : Soit f, une fonction définie sur un intervalle I

La fonction réelle f est strictement décroissante sur un intervalle  I
			⟺
	∀ (Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]) ∈ I : (Subscript[x, 1])< (Subscript[x, 2]) ⟹  f((Subscript[x, 1])) >  f((Subscript[x, 2]))

Définition : Soit f, une fonction définie sur un intervalle I

La fonction réelle f est constante sur un intervalle  I
			⟺
	∀ (Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]) ∈ I : (Subscript[x, 1])< (Subscript[x, 2]) ⟹  f((Subscript[x, 1])) =  f((Subscript[x, 2]))

Si une fonction f est constante sur un intervalle, elle peut s'écrire sous la forme f(x) = k	où k ∈ ℝ

exemple:	déterminer la croissance d'une fonction du second degré

	f(x) = (x^2)-3x+2
Le coefficient a de (x^2)étant positif, la parabole tourne sa concavité vers le haut.

gf=Plot[x^2-3x+2,{x,-5,5},PlotRange->{-5,5}];
Show[gf]

La fonction est donc décroissante jusqu'à l'abscisse du sommet et croissante ensuite.
L'abscisse du sommet est donnée par  ((-b)/(2 a)) = (3/2)
La fonction f est donc strictement décroissante sur ←, (3/2)]  et strictement croissante sur  [(3/2),->

exemple:	déterminer la croissance de la fonction

	f(x) =(1/(x-2))
Le domaine de définition est ℝ \ {2}

gf=Plot[1/(x-2),{x,-1,5},PlotRange->{-4,4}];
Show[gf]

La fonction est obtenue par une translation le long de l'axe des abscisses (de vecteur (2,0) de la fonction f(x) = (1/x).
La fonction f est strictement décroissante sur ←, 2[ et strictement croissante sur  ]2,->

Exercices : déterminer la croissance des fonctions suivantes

Croissance[f_,x]:=Block[{a,b,c,coeff},
If[PolynomialQ[f,x]&& Exponent[f,x]==2,
coeff=CoefficientList[f,x];
a=coeff[[3]];
b=coeff[[2]];
c=coeff[[1]];
Which[a>0,
Print["fonction strictement décroissante sur ",EnSol[x≤-b/(2a),x]];
Print["fonction strictement croissante sur ",EnSol[x≥-b/(2a),x]],
a<0,
Print["fonction strictement croissante sur ",EnSol[x≤-b/(2a),x]];
Print["fonction strictement décroissante sur ",EnSol[x≥-b/(2a),x]]],
a==0,
Print["pas une fonction du second degré"]
]
]
f[x_]:=x^2+6x+8;
Print["1) f(x) = ",f[x]];
Croissance[f[x],x];

f[x_]:=3x-5x^2;
Print["2) f(x) = ",f[x]];
Croissance[f[x],x];

f[x_]:=2-9x;
Print["3) f(x) = ",f[x]];
Print["fonction strictement décroissante sur ℝ"];

f[x_]:=Abs[x-2]+1;
Print["4) f(x) = ",f[x]];
Print["fonction strictement décroissante sur ⟵,2]"];
Print["fonction strictement croissante sur [2,⟶"];
gf=Plot[f[x],{x,-1,5},PlotRange->{-2,3}];
Show[gf]