Calculus

<<calculus.m

Inéquations

i=Inequation[2x-3≤5/x,x]

Resoudre[i]

Detaille[i]

Graphe[i]

Adhérence

Adhérence d'un ensemble de réels

A=Ensemble[x^2<3x,x]

Adh[A]

Adhérence du domaine d'une fonction

f=((Sqrt[x^2-3])/(x-5));domf=Domaine[f,x]

Adh[domf]

Intérieur

A=Ensemble[x^2≤3x,x]

Int[A]

Fonctions

Fonction algébrique

f=(2x-1)/(Sqrt[(x^2-9)])

Valeur - image d'un réel par la fonction

f=((Sqrt[x+1])/(2x-1));
Valeur[f,x,2]

Valeur[f,x,a+1]

Valeur[f,x,1/2]

Valeur[f,x,+∞]

Valeur[f,x,-∞]

Domaine de définition

Recherche du domaine de définition d'une fonction

f=(2x-1)/(Sqrt[(x^2-9)]);
Dom[f,x]
Domaine[f,x]

f=x^2-6x+3;
Dom[f,x]
Domaine[f,x]

Image d'une fonction

f=(2x-1)/(Sqrt[(x^2-9)]);
Imagef[f,x]

Racines

f=(2x^2+3x-5)/(Sqrt[(x^2-1)]);
Racines[f,x]

Croissance d'une fonction (erreurs à corriger!!)

f=x^2-4x+7;EtudeCroissance[f,x]

f=(2x-1)/(Sqrt[(x^2-1)]);
Croissance[f,x]
Decroissance[f,x]

Parité

f=(2x)/(Sqrt[(x^2-9)]);
Parite[f,x]

Graphe de f

f=(((x+3) (2 x-1))/(2-3 x))

Ensemble des points du plan tels que y=f(x)

Gf[f,x]

Graphique

cadrex={-6,6};
Graphe[Gf[f,x]]

Changer la couleur de l'ensemble de points

Couleur[Gf[f,x]]=Red;
Graphe[Gf[f,x]]

Graphe d'une fonction algébrique et de ses asymptotes

Ne fonctionne pas avec toutes les fonctions!!
remarque: glisser le curseur de la souris sur les asymptotes affiche leur équation!

f=(((x+3) (2 x-1))/(2-3 x));
cadrex={-6,4};cadrey={-6,4};
Graphef[f,x]

Fonctions définies par morceaux

Ces fonctions ne sont pas supportées dans toutes les fonctions du package; se référer aux exemples!

f=Piecewise[{{x^2+x,x<=1},{2x+1,x>1}}]

cadrey={-1,5};
Graphef[f,x]

A changer pour avoir un gros point...

CouleurparDefaut=Black;
cadrey={-1,5};
Graphef[f,x]

Domaine[f,x]

Imagef[f,x]

Tableaux de signes

f=(2x-1)/(Sqrt[(x^2-1)]);
TableaudeSignes[f,x]

f=(2x-1)(x+3)/(2-3x);
TableaudeSignes[f,x]

Affichage d'un tableau de signe complet (en plusieurs lignes)

TableaudeSignesComplet[f,x]

Indiquer les valeurs prises par l'expression dans le tableau

TableaudeSignesComplet[f,x,Valeurs->True]

TableaudeSignes[{2x-1,x^2-8},x,Valeurs->True]

Utiliser une autre variable que x

TableaudeSignes[t^3-3t,t]

Tableau XY

f=(2x-1)/(x+3)

TableauXY[f, {x, a, b, ∆x}]

TableauXY[f,{x,-2,3,1}]

gxy=GrapheXY[f,{x,-2,3,1}]

Show[{Graphef[f,x],gxy}]

TableauXY[f, {x, {(Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), ...} }]

TableauXY[f,{x,{-2,3,1,5}}]

GrapheXY[f,{x,{-2,3,1,5}}]

Limites

Affichage de la limite

f=(2x-1)/(x+3);
l=Limite[f,x,-3]

Notation de limite (à copier coller)

LimiteNotation[x,a]

Calcul d'une limite

Calcule[l]

Asymptotes

Asymptotes verticales

f=(2x-1)/(x^2+x-6);
av=AV[f,x]

Les asymptotes sont dessinées en rouge en traits discontinus

Graphe[av]

Asymptotes horizontales et obliques

f=(2x^2-1)/(x^2+x-6);
ao=AO[f,x]

Les asymptotes sont dessinées en rouge en traits discontinus:

Graphe[ao]

Autre exemple

f=(2x^2-1)/(x-6);
ao=AO[f,x]

cadrex={-8,2};Graphe[ao]

Asymptotes

Exemple 1

Asymptotes[f,x]

Exemple 2

f=(1/(Sqrt[x-1]));
Asymptotes[f,x]

Dérivée

f=(Sqrt[2x-1])/(x+3)

Calcul de la dérivée à l'aide de la fonction incluse dans Mathematica

D[f,x]

il faut ensuite mettre au même dénominateur

Together[%]

Dérivée (n^(ème))

D[f,{x,2}]

Together[%]

Calcul de la dérivée

Derivee[f,x]

Calcul de la dérivée seconde

DeriveeSeconde[f,x]

Tableau de signe de la dérivée

f=(Sqrt[2x-1])/(x+3);
TableaudeSignesD[f,Derivee[f,x],x]

Tableau de signe de la dérivée seconde

à compléter... fonction locale

Tangente à une fonction

Equation d'une tangente à la fonction f au point d'abscisse a

f=(2x-1)/(x+1);
t=Tangente[f,x,1]

Presente[t]

La couleur par défaut est vert foncé (Darker[Green] )

cadrex={-5,5};Graphe[t]

Tangente verticale (à corriger/compléter !!)

f=(Sqrt[x-1]);t=Tangente[f,x,1]

Tangente inexistante

f=(Sqrt[x-1]);t=Tangente[f,x,-2]

Calcul en détail d'une tangente

f=(Sqrt[x-1]);DetailTangente[f,x,5]

f=(Sqrt[x-1]);DetailTangente[f,x,-2]

f=(Sqrt[x-1]);DetailTangente[f,x,1]

Graphe de fonction

cadrex={-8,4};cadrey={-4,6};
f=(2x-1)/(x+3);
Graphef[f,x]

Ajout d'un point de la fonction...

Etude de fonction

Etude d'une fonction algébrique (polynômes et/ou(Sqrt[□]) uniquement!)

f=(2x-1)/(x+3);
Etudef[f,x]

Composition de fonctions

Intégrales et primitives

Recherche d'une primitive de f

f=(2x-1)/(x+1);
Primitive[f,x]

Affichage d'une intégrale indéfinie

f=(2x-1)/(x+1);
i=Integrale[f,x]

Calcul d'une intégrale indéfinie

Calcule[i]

Affichage d'une intégrale définie

f=(2x-1)/(x+1);
i=Integrale[f,{x,1,3}]

Calcul d'une intégrale définie

Calcule[i]

Intégration par substitution

Dans cet exemple, Mathematica effectue la puissance pur intégrer...

i=Integrale[x(x-1)^7,x]

Calcule[i]

Substitution t-> x-1

i=Integrale[x(x-1)^7,x,t,x-1]

Calcule[i]

Détail du calcul de l'intégrale définie

Detail[i]

Intégrale définie - substitution

Dans cet exemple, Mathematica effectue la puissance pur intégrer...

i=Integrale[x(x-1)^7,{x,0,1}]

Detail[i]

Substitution t-> x-1

i=Integrale[x(x-1)^7,x,t,x-1]

à compléter........

Detail[i]

Graphique

Graphe[i]

Graphe[i,PlotRange->{{-1,5},{-2,3}}]

Surface entre deux fonctions

Recherche automatique des 2 points d'intersections: Surface[f, g, x]

f=x^2;g=3x-x^2;
Surface[f,g,x]

Surface[f,g,x,{{-2,3},{-2,4}}]

En précisant les bornes: Surface[f, g, {x, a, b}]

Ne fonctionne qu'avec un ou zéro point d'intersection dans l'intervalle [a,b]

f=x^2;g=3x-x^2;
Surface[f,g,{x,1,2},{{-1,4},{-1,5}}]

Surface[f,g,{x,1/4,5/4},{{-1,4},{-1,5}}]

Ne fonctionne pas avec plusieurs points d'intersection !

Surface[f,g,{x,-1,2},{{-1,4},{-1,5}}]

Surface entre trois courbes

Si trop de points d'intersection, seul le graphe est affiché

Surface[x^2,2/x,3x-x^2,x]

En donnant un intervalle de recherche définissant clairement une surface, le calcul est effectué...

Surface[x^2,2/x,3x-x^2,{x,1/2,2}]

Surface[x^2,2/x,3x-x^2,{x,1.1,3}]

Volumes

A modifier, améliorer, corriger,....

Volume[3x-x^2,{x,0,3}]

Volume[x^2,3x-x^2,x]

Réciproque

f=(x+1)/(x+3);
Reciproque[f,x,y]

Applications